Laure Saint-Raymond : les secrets mathématiques de la loterie dévoilés

Le 5 décembre 2024, S[cube] a donné le coup d’envoi de son exposition itinérante Maths et Jeux. À cette occasion, s’est tenue une conférence inaugurale de Laure Saint-Raymond, mathématicienne et professeure permanente à l’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES).
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Explorer les mathématiques au présent

Intitulée « Jouer pour Gagner ? », la conférence de Laure Saint-Raymond a plongé l’auditoire dans une récente découverte. 

En 2023, deux chercheurs de l’Université de Manchester (Cushing & Stewart) ont découvert une stratégie infaillible pour garantir un gain minimal à la loterie britannique. La clé du succès ? Jouer 27 billets de loterie, soigneusement sélectionnés.

Laure Saint-Raymond a présenté ce résultat avec pédagogie, mêlant mise en pratique et théorie mathématique. En choisissant de mettre en lumière cet article scientifique récent, la mathématicienne montre également que les mathématiques ne se limitent pas à des concepts anciens.

Pourquoi étudier la loterie britannique ?

Les deux chercheurs de Manchester ont simplement choisi un objet mathématique local : la loterie nationale britannique. Cette dernière repose sur des règles spécifiques : sur le ticket d’un joueur, 6 numéros sont à sélectionner parmi 59. Le gain minimal nécessite ainsi 2 numéros corrects parmi les 6 numéros du tirage. 

Comparativement, la loterie nationale française requiert de sélectionner 5 numéros parmi 49. 

Gagner : un subtil équilibre entre chance et organisation 

Quels numéros cocher sur les 27 tickets pour s’assurer le gain minimal ? Laure Saint-Raymond dévoile la première clé de la stratégie : séparer les 59 numéros de la loterie anglaise en cinq “tiroirs”. 

1 à 8     9 à 17     18 à 31     32 à 45     46 à 59.

Vérifiez-le par vous même avec votre propre sélection de six numéros allant de 1 à 59 : deux de vos numéros seront contenus dans le même tiroir. Les cinq tiroirs ci-dessus ne sont pas anodins : ils ont été soigneusement choisis par les chercheurs de Manchester.

Laure Saint-Raymond présente la deuxième partie de la stratégie : une fois les tiroirs constitués, il faut s’assurer de créer assez de tickets pour couvrir toutes les paires de numéros au sein du même tiroir… tout en minimisant le nombre de tickets investis pour gagner le jackpot. Voici la liste tant attendue des 27 tickets assurant le gain minimal.

Liste de 27 tickets valides permettant d’assurer un gain minimal de 2 numéros gagnants à la loterie britannique. Les zones grises et blanches représentent les tiroirs dans lesquels ils sont répartis.

Les deux premiers tiroirs (1-8) et (9-17) contiennent 3 propositions de tickets, tandis que les trois tiroirs suivants (18-31), (32-45) et (46-59) contiennent 7 propositions de tickets. À noter : contrairement aux idées reçues, un ticket composé de numéros consécutifs a les mêmes probabilités de gain qu’un ticket avec des numéros aléatoirement choisis. 

Un problème à tiroirs ?

Dans le cas des tiroirs (18-31), (32-45) et (46-59), comment 7 tickets suffisent à couvrir toutes les paires de numéros garantissant un gain minimal ? 

Pour sélectionner son ticket, il faut utiliser un objet mathématique appelé plan de Fano. Avec son faux air de schéma simplet, ce triangle permet de minimiser le nombre de tickets investis pour couvrir toutes les paires de numéros possiblement gagnantes.

À gauche : Plan de Fano permettant d’élaborer un ticket gagnant dans le tiroir 46-59. À droite : coïncidence mathématique, le plan de Fano peut être également utilisé pour la construction des cartes du jeu Dobble… un jeu mis en lumière dans l’exposition Maths et Jeux !

Pour composer votre ticket de 6 numéros, sélectionnez une des sept lignes continues comportant trois points noirs : par exemple un côté du triangle, ou un de ses axes de symétrie, ou le cercle inscrit. Les trois points noirs par lesquels passe votre ligne déterminent le contenu de votre ticket. Au total, vous pourrez former sept tickets différents, qui suffiront pour vous assurer d’avoir au moins une configuration gagnante… Du moins pour ce tiroir !

Il vous faudra encore un peu de travail pour transposer les résultats de Cushing et Stewart à notre loterie nationale. 🙂

Des maths et des jeux

S[cube] remercie chaleureusement Laure Saint-Raymond qui a su adapter avec brio son sujet de conférence à l’univers ludique proposé par l’exposition Maths et jeux. Une preuve supplémentaire que les jeux peuvent être une porte d’entrée privilégiée pour explorer et apprécier la richesse des mathématiques à tous les niveaux.

Pour en savoir plus

Le saviez-vous ? S[cube] créé chaque année
une exposition itinérante

Si Maths et Jeux est la dernière exposition S[cube] en date, de nombreux thèmes d’expositions ont été abordés par S[cube] : intelligence artificielle, esprit critique, évolution, alimentation durable, ondes, cerveau… Découvrez toutes nos expositions itinérantes ici.

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